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공기와의 마찰이 없다면?(교사용)
작성일 2003-02-23 (일) 13:45
분 류 8학년
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영역 여러가지 운동
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공기와의 마찰이 없다면?(교사용)

공기와의 마찰이 없다면?(교사용)

여러 가지 운동중에서 우리가 가장 많은 경험을 하고 있는 것이 자유낙하 운동일 것이다. 우리는 일상생활에서 항상 자유낙하 운동을 보고 있다. 자유낙하는 가속도 운동이기 때문에 시간이 지날수록 속력이 증가한다. 많은 경우가 그러하다. 그러나 공기와의 마찰이 있기 때문에 일정한 속력 이상의 속력으로 증가하지 않는 경우가 있다. 그 대표적인 예가 "비"이다. 그러나 대부분의 사람들은 비가 떨어지는 속력이 일정하다는 사실을 인식하지 못하는 경우가 많으며, 왜 자유낙하 운동인데 속력이 일정해지는지에 대한 이해가 매우 부족하다. 여학생의 경우 그런 자연 현상에 대한 이해의 폭이 오히려 더 부족하다. 이 실험을 통하여 종단속도가 무엇이며 왜 그러한지를 알아봄으로써 자연의 현상에 대한 여학생들의 이해의 폭을 더욱 넓힐 수 있을 것이다.

떨어지는 빗방울이 지면 가까이에서 속력이 일정해지는 현상(종단속도)을 설명할 수 있다.

1. 수업의 진행과 시간 배정 : 45분

가) 도입 : 5분
- 자유낙하 운동의 특징에 대하여 상기시키고, 떨어지는 빗방울의 속력이 어떻게 변하는 지에 대해 학생들에게 질문한다.(Experience)

나) 탐구 실험 : 30분
- 실험을 시작하기 전에 교사의 시범 실험이 필요하다.
  * 실제로 실험하는 과정을 간단하게 시범을 보인다.
- 여학생은 색깔에 대해 좋은 반응을 보이고, 동기 유발이 된다.
  * 식용색소를 여러 가지 준비하여 다양한 색깔의 물방울을 가지고 실험을 할 수 있도록 배려한다.(Exciting)
- 과정에 나온 것처럼 조원들끼리 역할 분담이 잘 될 수 있도록 한번 더 주지시킨다.(Environment)
- 각 구간별 시간을 측정하는 방법을 정확하게 할 수 있도록 설명해준다.(초시계는 계속 시간이 흘러가는 상태에서 그 구간의 경계선을 지나갈 때마다 그 시간을 측정하고, 각 구간을 통과하는데 걸리는 시간은 각 경계선을 통과하는 시간의 값을 빼주면 된다. 초시계로 매 시간을 스톱시켜 측정하는 것은 잘못된 방법이다. 정확한 시간값을 얻을 수 없다.)
- 물방울의 크기를 다르게 하는 방법은 시간을 측정하기 전에 여러번 연습을 한 후 하게 한다.
  * 물방울의 크기에 관한 관계는 정성적인 관찰이므로 정확한 크기가 필요한 것은 아니다.

다) 결과 정리 및 토의 : 10분
- 그래프를 잘 그리지 못하는 경우 그래프를 그리는 방법을 설명한다.
- (생각모으기)(그래프의 해석에 의한 결론)에 대해 토론하고 기록한다.
  * 실험의 결과에 대한 원인에 대해 각자 의견을 제시하고, 서로의 의견을 기록하게 한다. 마지막에 자신의 의견을 다시 정리하여 기록하게 한다.
- 종단 속도가 무엇이며, 왜 그런 현상이 생기는지 설명한다. 그리고 공기와 식용유에서의 상태를 비교하여 설명한다.

라)  (읽은 거리)를 함께 읽고, 여학생의 도전 정신을 북돋워 주고, 용기를 준다.(Encouragement)

평가 기준

평가척도

평가

낙하하는 물체의 속력이 일정하다는 것을 공기의 마찰을 이용하여 설명하는가?

낙하하는 물체의 속력이 일정해 진다는 것을 공기의 마찰을 이용하여 설명한다.

A

낙하하는 물체의 속력이 일정해 진다는 것을 설명하지만 마찰과의 연계성을 찾지 못한다.

B

낙하하는 물체의 속력이 일정해 진다는 것을 설명하지 못한다.

C

① 스튜어디스가 살아 날 수 있었던 것에 대한 물리적인 해석

우리 주변에서는 추락사고가 가끔 발생한다. 그런데, 어떤 사람은 6층에서 떨어져도 죽지만, 어떤 사람은 스카이다이빙을 하다가 떨어져도 살아난 경우가 있다. 과연 이 일들은 물리적으로 설명이 가능한 것일까? 가능하다면 왜 그런 차이가 발생한 것일까?

높은 곳에서 떨어져 살아난 최고 기록은 10,610m이다.(→University Physics, Harris Benson, John Wiley & Sons, Inc., 45p) 이 기록은 유고슬라비아의 스튜어디스가 세운 것으로 비행기가 공중에서 폭발하였을 때 튀어나와 살아남았다. 이 사실을 물리적으로 어떻게 설명할 수 있을까?

대기 중에서 낙하하는 물체는 일정거리 이상 낙하 후에는 종단속도에 도달하게 된다. 이 종단속도는 지구의 인력과 물체가 주위 대기에게서 받는 마찰력이 평형을 이루게 되는 속도로서 물체의 형태와 무게 그리고 주위 공기의 밀도에 의해 결정되는 값이다. 일반적으로 스카이 다이버의 종단속도는 60㎧이며 약 430m만 낙하하면 이 속도의 95%에 도달하게 된다(←Fundamentals of Physics 4ed, Halliday, Resnick, Walker, Wiley & Sons, Inc.,139p). 따라서 이 스튜어디스는 충분히 종단속도에 도달할 수 있었을 것이다. 물체가 공기 중에서 경험하는 마찰력의 식은 다음과 같다.  D=½CρAv2  여기서 A는 속도에 대해 수직인 면적, ρ는 공기의 밀도이고, C는 물체마다 특이한 마찰계수이다.

이 스튜어디스의 경우 스카이다이빙을 하는 상태가 아니므로 아마도 저항을 크게 받는 상태로 떨어졌을 것이고, 입고있던 옷의 펄럭임도 있으므로(←난류를 발생시켜 마찰을 더욱 크게 만들 것이다) 근사적으로 스카이 다이버가 사지를 펴고 떨어지는 이른바 Spread-Eagle상태의 마찰계수를 도입할 수 있을 것이다. 이 경우 C의 값은 0.9가 된다. mg=½CρAv2에서, vf=47m/s임을 구할 수 있다. m=60㎏, g=9.8㎨, C=0.9, ρ=1.2㎏/㎥, A≒0.5㎡을 대입하면 vf의 값은 약 47㎧임을 알 수 있다. 이제 문제가 되는 것은 지면에 충돌할 때 사람이 경험하는 충격량의 크기이므로, Fext = dP/dt에서 충격량을 구해야 한다. 이제 문제가 되는 것은 충돌하는 시간 dt인데, 대개 높은 곳에서 떨어진 후 살아남은 사람들은 나무나 눈 등의 완충작용을 하는 물체와 충돌한 경우가 대부분이므로 이 경우도 각각의 경우를 생각해볼 필요가 있을 것이다.

첫째, 먼저 10m의 나무에 충돌한 후 지면에 부딪혔다고 생각해볼 수 있을 것이다. vt + ½at2 = S에서, 47t + ½at2 = 10 이라는 식을 도출해낼 수 있으며, 이 이차 방정식이 실근을 갖기 위해서는 472+20a≥0 이라는 조건을 만족해야 한다. 이때 a의 최소값은 -110㎧ 또는 -11.3g라는 결과가 나오게 된다. t는 0.18이 나오고, 10g의 가속도를 상처 없이 견딜 수 있는 한계시간이 1초라고 알려져 있으므로(←University Physics, 47p) 이 경우 살아날 가능성은 충분하다고 할 수 있을 것이다. 물론 나무와의 충돌은 연속적으로 일어나는 일이 아니라 불연속적으로 일어나므로 실제 경험 가속도의 크기는 이보다 크겠지만, 생존을 기대하는데는 큰 무리가 없을 것이다.

둘째, 나무의 완충작용 없이 매우 부드러운 지면(눈이나 건초 위)에 떨어질 경우를 생각해보면 신체와 지면의 압축을 통해 정지할 때까지 약 10㎝를 이동할 수 있다고 생각해볼 수 있다. 따라서, 47t + ½at2 = 0.1 , 47 = -at 두 식을 만족해야 한다. t=0.005초가 될 것이고, a=9400㎨ 또는 약 100g에 해당한다. 20-100g는 0.02-0.1초 동안 받으면 possibly nonfatal(←University Physics, 47p)라고 나와 있으므로 이 경우도 살아날 가능성이 있다고 할 수 있다.

세째, 부드럽지 않은 지면에 충돌하면 지면의 압축은 거의 없고 신체의 압축만 일어날 것이다. 이 경우 정지할 때까지 이동할 수 있는 거리는 1㎝정도일 것이다. 47t + ½at2 = 0.01 , 47 = -at 두 식에서 t = 0.0004, a = 117500㎨ 또는 12000g에 해당한다. 이 정도 충격이라면 대개의 추락사고에서 볼 수 있듯 거의 확실한 사망을 예측해 볼 수 있다.

이상을 살펴볼 때 충분히 부드러운 곳에 떨어진다면 아무리 높은 곳에서 떨어져도 결국 종단속도에 도달할 것이므로 생존할 가능성이 상당함을 알 수 있다. 그러나 대부분의 지면이 세번째의 경우에 해당할 것이므로 낙하사고에서 살아나는 경우가 드문 것이 큰 무리가 아니라고 할 수 있을 것이다.

② 물방울의 크기를 조절하는 방법  - 작은 물방울을 만들려면 스포이드를 식용유에 담그지 않고, 물방울을 떨어뜨린다. 그러나 식용유와 거리가 많이 떨어지면 너무 물방물이 작아진다. 큰 물방울은 스포이드를 식용유에 담근채 천천히 물방울이 만들어지게 한다.

③ (어떻게 할까)의 해답

1. 식용유는 물보다 밀도가 작으므로 물이 가라앉을 수 있으며, 짧은 시간에 종단속도에 도달할 수 있을 만큼의 점성이 있다.

3. 작은 물방울의 속력이 느리다. 속력의 제곱은 밀도가 같은 물질일 경우 질량에 대한 상대적인 표면적의 크기에 비례한다.( mg=½CρAv2에서 2mg/CρA=V2 ) 그러므로 물방울의 질량은 부피이므로 물방울의 반지름의 세제곱에 비례하고, 표면적은 제곱에 비례한다. 그러므로 질량이 1/8로 줄어들면 표면적은 1/4분밖에 줄어들지 않는다. 그래서 2mg/CρA=V2 식에서 속력의 제곱은 1/2로 줄어들게 되는 것이다.

4. 시간과 거리 ( 속력 = 거리/시간 )

④ (한 걸음 더)의 해답 - 공기

- 공기 중에서의 저항은 유체에서의 부력은 거의 무시할 정도이다. 그래서 표면에서의 마찰만이 저항에 관여한다. 그러나 식용유에서의 저항은 표면적에 의한 마찰과 밀도 차이에 의한 부력의 합이다. 식용유에서의 물방울의 부력은 공기 중에서도 보다 매우 크게 작용한다.

⑤ 종단속도

높은 상공에서 떨어지는 빗방울은 일정한 속도로 떨어진다. 이것은 공기의 저항 때문이다. 공기의 저항은 물체의 속도가 그리 크지 않을 때에는 물체의 속도에 비례하여 증가하므로  Fair - kv로 나타낼 수 있다. 이 때 비례 상수 k는 물체의 모양에 따라 달라진다. 그러므로 공기 중에서 낙하하는 물체에 작용하는 힘은 중력에서 공기의 저항을 빼야 한다. 물체의 질량을 m, 가속도를 a라 하면 mg - Fair = ma 로 나타낼 수 있다. 낙하 속력이 점점 커져서 공기의 저항과 물체에 작용하는 중력이 같아지면 물체는 등속 운동을 하게 된다. 이 때의 속도를 vf 라 하면 mg - kvf = 0 이므로 vf = mg/k 로 나타낼 수 있다. 이 때의 속도를 종단속도라고 한다.

낙하산의 경우에 종단 속도는 약 20km/s 정도이고 스카이 다이버의 종단 속도는 자세에 따라 다르지만 대략 200km/s이며 직경이 약 2mm인 빗방울의 종단 속도는 약 24km/s이다.

스카이 다이빙을 하는 사람이 받는 힘의 변화를 기록하고, 그에 따른 속도의 변화(가속도)를 순서대로 그려내고 있다. 이 상황을 애니메이션으로 볼 수 있는 곳이 있다.(http://hypertextbook.com/facts/JianHuang.shtml)

하늘아 기다려라. 내가 간다.

 고 3이 되자 나는 진학 문제에 대해서 심각하게 고민하기 시작했다. 엄마와 여동생, 그리고 나 이렇게 세 식구가 그런대로 살아왔지만, 내가 대학에 진학하는 것은 경제적으로 무리였다. 중·고등학교의 학비를 장학금으로 해결했듯이 대학에 가서도 장학금이나 아르바이트로 해결하리라 생각했지만, 첫 학기으 입학금과 등록금을 마련하는 것도 문제였다. 이런 나의 고민을 잘 아는 친한 친구가 어느날 나에게 이런 제안을 했다.
"야, 지연아. 너 공군사관학교에 원서 내라. 최초의 여생도, 얼마나 멋있니? 학비도 면제고."
  난 그 말을 듣자마자 지원하기로 결정을 했다. 공사에 대해 아는 것이 하나도 없었지만, 수준높은 대학 교육을 시켜주고 학비는 무료라는 사실만으로 충분했다. 처음에는 순전히 경제적인 이유로 지원을 했지만, 치열한 관문을 하나하나 통과할 때마다 기뻤고, 공사에 대한 애착도 커져갔다. 마침내 최종 합격하여 가입교한 뒤에는 공군사관학교에서 나 자신에 대한 자부심과 내 인생에 대한 뚜렷한 목표를 확고히 갖게 되었다. 아무것도 모르고 뚜렷한 신념도 없이 이곳 성무대에 들어왔지만, 지금은 전투조종사를 꿈꾸는 도전적이고 패기에 찬 공사 생도가 된 나 자신이 스스로 생각해도 대견스럽기만 하다.

  난 엄살도 심하고, 네 살이나 아래인 여동생보다도 더 어리광을 부리고 의지하는 아이였다. 먹은 것이 체해서 바늘로 손가락을 따야 할 때도 동생은 스스로 하는데 나는 엄마가 따주어도 부들부들 떠는 아이였다. 체력도 형편없어서 공사 2차 시험인 신체검사에서는 거의 불합격을 맞을 뻔했다. 100미터 달리기, 1200미터 달리기, 팔굽혀펴기에서 기준 미달이었고, 다만 그 동안 살을 뺀다고 평소에 연습한 윗몸일으키기만 겨우 통과할 정도였다. 그런 내가 아무런 정신적인 각오도 없이 가입교 훈련을 받게 되었으니 고생이 말이 아니어다. 구보에서 낙오는 밥먹듯이 했고, 고된 훈련으로 온몸에 멍이 들었으며, 엄지발톱이 빠졌다. 그러나 이곳에서 나간다는 생각은 해본적이 없었다. 이런 고통 때문에 나간다면 입교하지도 않았을 것이라며 내 투지를 가다듬었다. 발톱이 빠지고 발뒤꿈치는 물집이 터져 전투화를 신는 것이 고통스러웠지만, 그래도 구보를 하였다.  

그리고 그렇게 뛰다 보면 고통은 어느새 사라졌다. "나를 죽이지 못하는 것은 나를 강하게 할 뿐." 이라는 선배님들의 말을 몸으로 느낄 수 있었다. 가입교의 마지막 관문인 완전군장 8킬로미터 구보를 낙오하지 않고 완주했을 때, 나는 과거와는 다른 내가 된 기분이었다.

  이제는 정식 생도가 되어 학업에도 바쁜 나날을 보내고 있다. 앞으로 졸업할 때가지 공부도 자신있게 할 것이다. 누가 말했듯이 공부가 제일 쉬우니까. 신체적인 면에서의 나 자신의 변화는 놀랄만하다. 몸무게가 6킬로그램이나 줄었고, 고질이던 변비가 없어졌으며, 기초체력이 입교전과 비교해서 월등하게 좋아졌다. 내가 제일 겁먹어하던 1200미터 달리기만 하더라도 입교 전에 비해서 기록이 2분이나 단축되었다. 정신적으로도 자신과 패기가 넘치는 군인이 된 것 같다. 국가와 명예라는 단어를 들으면 가슴이 뭉클해진다. 전투조종사의 꿈이 마치 어릴적부터 품어오던 꿈인양 이제는 나에게 매우 소중하다.

엄마는 나를 대견해하셨다. 초등학교 6학년 때부터 주말이면 꼭 교회의 반주자로 봉사를 했고, 학교에서는 장학금을 받는 모범생이었으니까. 그런데 요즈음 나 때문에 엄마는 콧대가 더 높아지셨다. 최초의 여생도인데다가 여기저기 매스컴도 탔더니, 친척과 교회에서 내가 스타가 된 모양이다. 엄마가 자랑스러워하실 때마다, 다섯 살 난 나와 한 살배기 동생을 데리고 혼자 되신 뒤 고생을 많이 하신 엄마에게 작은 효도를 한 것 같아 기쁘다.

  면회를 온 친구들도 나를 부러워한다. 생각보다는 대학생활에 만족하지 못하는 친구들이 안쓰럽다. 대학생활은 그들이 꿈꾸던대로 낭만적이지 않고, 술도 먹어보고 미팅도 해보았지만 별거 없다고 불평을 한다.

 "지연아, 너 좋겠다. 미래도 보장이 되어 있지. 특히 멋진 남자도 많지."

  난 친구들이 부러워할 때마다 나중에 선배들과 미팅을 주선하겠다며 친구들을 달래주곤 한다. 친구들을 배웅하고 다시 성무대 언덕을 넘어 돌아오면서, 나는 북돋워진 자신감을 느낀다. 그럴 때 마다 한층 가까워져 보이는 하늘에게 나는 나직이 속삭인다.

  "하늘아, 조금만 기다려라, 내가 간다."

   
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